1963年。
由于阿诺德对相空间的研究已经走火入魔，看到哪个问题都想用这样的思路来解决。
他盯上了伽罗华理论，一元五次方程没有有限根式解的证明。
阿诺德心想，可以拿出一个五次方程，然后对系数进行变化，然后在相空间上描绘出点来。
“方程系数绕一个环路回到原点可能会造成多项式方程根的置换。”
定理是，两个环路对易式定义的环路会造成根空间里的环路。
这样问题就来了，如果根的置换的对易式还是根的置换的话，那代数方程解的公式就必须是嵌套根式的样子。
若根的置换的对易式之对易式一直是根的置换，那解的根式表达就必须是无限嵌套的样子。
五次方程没有有限根式解由此得到了一个拓扑学角度的证明，思路清晰，比伽罗华理论好懂多了。