费马研究关于数论的知识，善于在一堆数字中找到一些关联。
1640年的时候，费马开始猜测，奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被4除余1。
但是他无法证明这些。
欧拉得知后，开始着手证明这个平方和定理。
欧拉给哥德巴赫写信说：“这个证明分五步。”
“如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和。第一步的证明是婆罗摩笈多－斐波那契恒等式的一种。”
“第二步如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则它们的商也能表示为两个平方数之和。”
“第三步，如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除，则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子。”
“第四步，如果a和b互素，则a^2 + b^2的所有因子都能表示为两个平方数之和。”
“第五步，任何形为4n+1的素数都能表示为两个平方数之和。”
使用这五步，欧拉成功证明了费马的平方和猜想，变成了平方和定理。